Algèbre 1 [Lecture notes] by Olivier Debarre

By Olivier Debarre

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De la même façon, la matrice Ei j A est formée de la j -ème ligne de A placée comme i -ème ligne, avec des 0 ailleurs. On en déduit a i i = a j j , puis a j k = 0 pour tout k = j , et a l i = 0 pour tout l = i . La matrice A est donc une homothétie. Cela montre à la fois les deux énoncés de la proposition. 2. Générateurs. — Nous avons étudié dans le § 4 des générateurs du groupes GLn (Z) et SLn (Z) en utilisant la réduction par opérations élémentaires d’une matrice à coefficients entiers. ) pour démontrer le théorème suivant.

La réciproque est un résultat spectaculaire de M. Gromov (1981). 8. — Un groupe de type fini est à croissance polynomiale si et seulement si il possède un sous-groupe nilpotent d’indice fini. Démonstration. — Il est hors de question de démontrer ici le théorème de Gromov ; nous renvoyons au célèbre blog de T. com/) pour une démonstration « élémentaire ». Nous nous contenterons d’expliquer le théorème de Wolf dans le cas où C2 (G) = [G, [G, G]] est trivial, c’est-à-dire quand tout commutateur est dans le centre de G (le cas où C1 (G) est trivial est l’ex.

Soient p, q et r des nombres premiers et soit G un groupe d’ordre pqr . Montrer que G est résoluble. 11. — Montrer que tout groupe d’ordre 72 est résoluble (Indication : on pourra considérer les 3-sous-groupes de Sylow et utiliser l’exerc. 31). 12. — Montrer que tout groupe d’ordre 495 est résoluble (Indication : on pourra considérer les 5- et 11-sous-groupes de Sylow, montrer que l’un d’eux est distingué, puis utiliser les exercices précédents). 13. — Montrer que tout groupe d’ordre 2907 est résoluble (Indication : on pourra utiliser l’exerc.

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