Algebra und Diskrete Mathematik by Dietlinde Lau

By Dietlinde Lau

Algebra und Diskrete Mathematik geh?ren zu den wichtigsten mathematischen Grundlagen der Informatik. Dieses zweib?ndige Lehrbuch f?hrt umfassend und lebendig in den Themenkomplex ein. Dabei erm?glichen ein klares Herausarbeiten von L?sungsalgorithmen, viele Beispiele, ausf?hrliche Beweise und eine deutliche optische Unterscheidung des Kernstoffs von weiterf?hrenden Informationen einen raschen Zugang zum Stoff. Die umfangreiche Sammlung von ?bungsaufgaben erleichtert nicht nur eine aktive Erarbeitung des Inhalts, sondern zeigt auch die unterschiedlichsten Anwendungsm?glichkeiten auf.

Zum Inhalt: Band 2 besteht aus den drei Teilen: Lineare Optimierung, Graphen und Algorithmen, Algebraische Strukturen und Allgemeine Algebra mit Anwendungen

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2) erf¨ und damit zu N geh¨ ort. Indem wir x0 := (α1 , . . , αm , 0, . . , 0)T verwenden, erhalten wir g(y0 ) = bT · y0 = yT0 · b = (BT · c∗ )T · b = cT∗ · (B · b) = (c1 , . . , cm ) · (α1 , . . , αm )T = f (x0 ). 15). (2): Die unter (2) angegebenen Aussagen sind leichte Verallgemeinerungen ¨ unseren Uberlegungen aus dem Beweis von (1). 4). 2 vereinbart — durch das nachfolgende Schema aufschreibbar. In das Rechenschema sind außerdem in der letzten Zeile die Zahlen g4 und g5 eingetragen, aus denen sich (nach Wahl von j := 5) die in die rechte Spalte eingetragenen Werte f¨ ur h1 , h2 und h3 ergeben: 2 Falls x0 weniger als m Koordinaten > 0 hat, sind die zu diesen Koordinaten geh¨ orenden Spalten von A durch gewisse linear unabh¨ angige Spalten von A so zu erg¨ anzen, daß m linear unabh¨ angige Spalten zur Bildung der Matrix B vorliegen.

Beweis. Wegen der Voraussetzung (III) l¨ aßt sich das LGS A · x = b der Nebenbedingungen auch wie folgt aufschreiben: ⎧ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ x1 a1,m+1 a1,j−1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎜ x2 ⎟ ⎜ a2,m+1 ⎟ ⎜ a2,j−1 ⎟ ⎪ ⎪ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎪ . . ⎪ . ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎪ . . ⎪ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎪ a a x ⎪ i−1,m+1 ⎟ i−1,j−1 ⎟ i−1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎪ B· ⎜ +xm+1 · ⎜ + . . + xj−1 · ⎜ ⎪ ⎟ ⎟+ ⎟ ⎪ a a x ⎪ ⎜ j ⎟ ⎜ i,m+1 ⎟ ⎜ i,j−1 ⎟ ⎪ ⎪ ⎜ xi+1 ⎟ ⎜ ai+1,m+1 ⎟ ⎜ ai+1,j−1 ⎟ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎪ . . ⎪ . ⎪ ⎝ ⎠ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ . .

Cm bm − α · gj >0 so sieht man, daß, falls α −→ ∞, f (xα ) gegen −∞ strebt. Folglich ist f nicht nach unten beschr¨ ankt. 6) beschr¨ ankt, so findet man zu einem j ∈ {m + 1, m + 2, . . , n} mit gj > 0 stets ein i mit bk bi = min . 6), das nur die Bedingungen (III) und (IV′ ) erf¨ gm+1 ≤ 0, gm+2 ≤ 0, . . 6) ablesbare Ecke x0 := (b1 , b2 , . . , bm , 0, . . , 0)T eine L¨ osung des LOP. Beweis. Bezeichne ⎛ ⎜ ⎜ x′ := ⎜ ⎝ x′1 x′2 .. x′n eine L¨ osung des LOP. Da ai = (0, 0, . . , 0, ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 1 , 0, .

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