Algebra Lineare by Ciro Ciliberto

By Ciro Ciliberto

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Dadurch erhalt man eine Abbildung k 7! gk von Z ! G. Mit Hilfe von Fallunterscheidungen bestatigt man nun leicht die Gesetze gk+l = gk gl und gkl = (gk )l fur alle k; l 2 Z. Die erste Regel besagt, da diese Abbildung ein Gruppenhomomorphismus zwischen (Z; +) und (G; ) ist. Ist (A; +) eine "`additiv geschriebene"' Abelsche Gruppe, so schreibt man fur a 2 A; k 2 Z stattdessen ka fur die Potenz von a. 11. Quotientenkorper Ist ein Ring R Unterring eines Korpers K , so ist R nullteilerfrei, denn ist ab = 0 und b 6= 0, so folgt a = a(bb 1 ) = (ab)b 1 = 0b 1 = 0.

N; 0) erhalt man eine injektive Abbildung N ! Z, vermoge derer wir n mit (n; 0) identi zieren und N als Teilmenge von Z au assen. Fur die Elemente (0; n) 2 Z schreiben wir n := (0; n): Durch n 7 ! n = (0; n) erhalten wir ebenfalls eine injektive Abbildung, deren Bildmenge mit N = f0g N bezeichnet wird. Man beachte, da nach dieser Identi kation 0 = 0 ist. Wir haben dann Z = ( N) N mit ( N ) \ N = f0g: Nun fuhren wir in Z eine Addition und Multiplikation wie folgt ein, wobei m; n 2 N ; m; n 2 N: m+n: Summe in N n m und n + p = m m + ( n) : = p p falls falls m n und m + p = n ( m) + n : = n + ( m) ( m) + ( n ) : = ( m + n ) m n: Produkt in N m( n) : = (mn) ( m)n : = (mn) ( m)( n) : = mn: Man rechnet nun mit Fallunterscheidungen leicht nach, da dadurch die Ringgesetze erfullt sind.

Zu x 6= 0 existiert ein Element y 2 R 4 mit x y = 1 = y x. Eine solche R {Algebra hei t eine Divisionsalgebra. In diesem Abschnitt de nieren wir diese Multiplikation und leiten einige der Eigenschaften der Divisionsalgebra H = R 4 her. 1. Quaternionenmultiplikation: Durch (x1 ; x2; x3 ; x4; ) $ ((x1; x2 ); (x3; x4 )) = (x1 + x2 i; x3 + x4 i) erhalten wir einen R { Vektorraum{Isomorphismus zwischen R 4 und C 2 , wobei auf C 2 nur die Skalare 2 R C beachtet werden. Wir identi zieren damit diese beiden R {Vektorraume und schreiben H = R4 = C 2 : Fur zwei Paare (z; w); (z0 ; w0) 2 H setzen wir nun (z; w)(z0 ; w0) := (zz0 ww0; zw0 + wz0): Au erdem sei 0 = 0H := (0; 0) und 1 = 1H := (1; 0).

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