Algebra [Lecture notes] by Eva Zerz

By Eva Zerz

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Kubische Gleichungen F¨ ur ein irreduzibles Polynom f ∈ K[x] vom Grad 3 hat der Zerf¨allungsk¨orper entweder K-Dimension 3 oder 6. F¨ ur separable Polynome liefert der vorige Satz die M¨oglichkeit, zwischen beiden F¨allen zu unterscheiden. Der inseparable Fall (f = 0) kann nur in Charakteristik 3 auftreten und man kann leicht nachweisen, dass der Zerf¨allungsk¨orper im inseparablen Fall immer Dimension 3 hat. 32 Sei f ∈ K[x] ein normiertes irreduzibles Polynom vom Grad 3 mit Diskriminante d = 0.

5. 16 Es ist G genau dann nilpotent, wenn es ein λ ≥ 0 gibt mit Zλ = G. Ist G nilpotent vom Grad l, so ist l die L¨ange der aufsteigenden Zentralreihe. Beweis: Sei G nilpotent vom Grad l. Wir zeigen durch Induktion, dass G(l−i) ⊆ Zi . F¨ ur i = 0 sind beide Gruppen gleich {e}. Sei die Aussage f¨ ur i − 1 gezeigt, also G(l−i+1) ⊆ Zi−1 . Dann ist G(l−i+1) = [G(l−i) , G] ⊆ Zi−1 . Daraus folgt G(l−i) Zi−1 /Zi−1 ⊆ Z(G/Zi−1 ), denn f¨ ur x ∈ G(l−i) , y ∈ G gilt [x, y] ∈ Zi−1 und daher xyZi−1 = yxZi−1 , also kommutiert xZi−1 mit jedem yZi−1 .

Da L|K radikal ist, gibt es ein α ∈ L \ K und ein p ∈ P mit k := αp ∈ K. Sei f = xp − k ∈ K[x] und µα ∈ K[x] das Minimalpolynom von α. Dann gilt µα | f . 6. Da L|K separabel ist, ist µα separabel, hat also mindestens zwei verschiedene Nullstellen. Sei β = α eine weitere Nullstelle von µα in L und ζ := αβ ∈ L. Dann gilt ζ = 1 und ζ p = 1. , ζ ist eine primitive p-te Einheitswurzel in L. Somit sind α, ζα, . . , ζ p−1 α ∈ L paarweise verschiedene Elemente von L und alle Nullstellen von f . Daher zerf¨allt auch f u ¨ber L und es gilt p−1 p (x − ζ i α).

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