Algebra by Markus Junker

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22 gezeigt. 14 [fu ¨ r euklidische Ringe] – – – – Z mit Betragsfunktion als ϕ. Polynomringe K[X] u orpern K mit der Gradfunktion als ϕ. ¨ber K¨ Z[i] = {a + bi ∈ C |, a, b ∈ Z} mit ϕ(a + bi) = a2 + b2 . Jeder K¨ orper mit konstantem ϕ. 15 Euklidische Ringe sind Hauptidealringe. Beweis: Sei I = {0} ein Ideal in einem euklidischen Ring. W¨ahle 0 = a ∈ I mit minimalem Wert unter ϕ. F¨ ur b ∈ I gibt es nun eine Darstellung b = qa + r wie in der Definition der euklidischen Ringe. Mit a und b ist dann auch r = b − qa ∈ I, also ist r = 0 nach der Wahl von a und somit b ∈ aR.

Ck )] · [K(c0 , . . , ck ) : K] endlich und somit a algebraisch u ¨ber K. ,an ) ∈ K(a1 , . . 2. 4 Sei L/K eine K¨ orpererweiterung. Dann ist {a ∈ L | a algebraisch u ¨ber K} ein K¨ orper, der relative algebraische Abschluss von K in L. 5 L heißt Zerf¨ allungk¨ orper von f ∈ K[X] u ¨ber K, falls f in L[X] in Linearfaktoren zerf¨ allt und L von den Nullstellen von f u ber K erzeugt wird, also L = K(a1 , . . , an ) ¨ und f (X) = c · (X − a1 ) · · · (X − an ). Bemerkung: Ein Isomorphismus ϕ : L1 → L2 setzt sich fort zu einem Isomorphismus zwischen k den Polynomringen L1 [X] → L2 [X] mit g = ci X i → g ϕ := i=0 k ϕ(ci )X i .

Wenn die Charakteristiken verschieden sind). Sind K, L ⊆ M , so existiert der kleinste, beide enthaltende Unterk¨orper von M , das Kompositum K · L von K und L. Es gilt K · L = K(L) = L(K). 10 Es gilt: Aut(Fpm ) = Frob ∼ ur k | m. = Z/mZ und Fix( Frobk ) = Fpk f¨ k k Beweis: Fix( Frobk ) = Fix(Frobk ) = {a | ap = a} besteht aus den Nullstellen von X p − X, also aus Fpk . Insbesondere ist Frobk = id auf Fpm f¨ ur einen echten Teiler k von m. Da andererseits Frobm = id auf Fpm ist, muss die Ordnung des Frobenius in Aut(Fpm ) ein Teiler von m sein.

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